题目内容
（09 年聊城一模理）（12分）
已知椭圆
：
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆
相切。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于，垂足为点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（III）设与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
，求
的取值范围。
解析：（Ⅰ）由
得，
；……4分
由直线
与圆
相切，得
，所以，
。所以椭圆的方程是
.……4分
（II）由条件知，
，即动点
到定点
的距离等于它到直线
：
的距离，由抛物线的定义得点的轨迹
的方程是
. ……8分
（III）由（2）知
，设
，
，所以
，
.
由
，得
.因为
，化简得
，……10分
（当且仅当
，即
时等号成立）. ……12分
，又
所以当
，即
时，
，故
的取值范围是
.……14分
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.
的值，使
的极小值为0；
时，
作曲线
的切线，切点为
，设
轴上的投影是点
；又过点
的切线，切点为
，设
；
依此下去，得到一系列点
；设它们的横坐标
构成数列为
.
；
时，令
求数列
的前
项和
.
平面
；
的余弦值.
的最小正周期及单调递减区间；
时，函数
，
轴的正半轴及
轴的正半轴三者围成图形的面积.