Question

如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC丄平面ABCD，PC=

2

a，E是PA的中点．
（1）求证：平面PBD丄平面PAC
（2）求三棱锥P-ECB的体积．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的几何特征，及PC丄平面ABCD，可得BD⊥平面PAC，进而根据面面垂直的判定定理，得到平面PBD丄平面PAC
（2）由（1）中BD⊥平面PAC，即BD⊥平面PEC，即BD为三棱锥P-ECB的面PEC上的高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）在菱形ABCD中
BD⊥AC
∵PC丄平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PC丄BD
∵AC∩PC=C，AC，PC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD
∴平面PBD丄平面PAC
（2）由（1）得BD丄平面PAC，即BD丄平面PEC
∵AC=a，∠ABC=60°
∴BD=

3

2

a
又∵PC=

2

a，E是PA的中点．
∴S_△PAE=

1

2

•S_△PAC=

2

4

a2
∴三棱锥P-ECB的体积V=

1

3

BD•S_△PAE=

1

3

•

3

2

a•

2

4

a2=

6

24

a3

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直及面面垂直的相互转化，（2）的关键是求出BD为三棱锥P-ECB的面PEC上的高．