Question

【题目】已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a，且当 时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，再把所得图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x），求方程g（x）=2在区间 上的所有根之和．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2cos2x+2 sinxcosx+a

=cos2x+1+ sin2x+a

=2sin（2x+ ）+a+1，

∵x∈[0， ]，

∴2x+ ∈[ ， ]，

∴f（x）min=a+2=2，故a=0，

∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，

由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ （k∈Z），

解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ （k∈Z），

故f（x）的单调增区间是[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）

（2）解：g（x）=2sin[4（x﹣ ）+ ]+1=2sin（4x﹣ ）+1，

由g（x）=2得sin（4x﹣ ）= ，

则4x﹣ =2kπ+ 或2kπ+ （k∈Z），

解得x= + 或 + ，（k∈Z）；

∵x∈[0， ]，

∴x= 或 ，故方程所有根之和为 + =

【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+ ）+a+1，x∈[0， ]时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（4x﹣ ）+1，依题意，g（x）=2得sin（4x﹣ ）= ，x∈[0， ]，可求得x= 或 ，从而可得答案．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．