Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为

1

2

，左焦点F₁到直线l：x-

3

y-3=0的距离等于长半轴长．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，O），求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）由已知

c

a

=

1

2

，可得F₁（-

1

2

a，0），
由F₁到直线l的距离为a，所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，
解得a=2，所以c=1，b²=a²-c²=3，得b=

3

，
所以所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）由（I）知F₂（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
因为l过点F₂，所以△＞0恒成立，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-6k

3+4k2

，
所以MN中点（

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

），
当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，
当k≠0时MN中垂线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，得m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
因为

3

k2

＞0，所以

1

k2

+4＞4，可得0＜m＜

1

4

，
综上可知实数m的取值范围是[0，

1

4

）．