Question

11．给定两个长度为1的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则$x+\frac{5}{2}y$的最大值是$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 根据题意，建立直角坐标系，设出∠AOC=α，用cosα，sinα表示出$\overrightarrow{OC}$，由此求出x，y的值，
再利用三角函数求x+$\frac{5}{2}$y的最大值．

解答 解：根据题意，建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
设∠AOC=α，则$\overrightarrow{OC}$=（cosα，sinα），
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴（cosα，sinα）=（x，0）+（-$\frac{y}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y）；
即$\left\{\begin{array}{l}{cosα=x-\frac{y}{2}}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα}\\{y=\frac{2sinα}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$；
∴x+$\frac{5}{2}$y=$\frac{sinα}{\sqrt{3}}$+cosα+$\frac{5sinα}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$sinα+cosα=$\sqrt{13}$sin（α+θ），其中tanθ=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$；
又sin（α+θ）≤1，∴x+$\frac{5}{2}$y≤$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了平面向量知识的运用问题，也考查了三角函数的应用问题，解题的关键是确定x，y的关系式，是中档题目．