Question

13．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1内一点P（2，-1）作直线与椭圆交于A，B两点，若|PA|=|PB|．则直线AB的方程是5x-3y-13=0．

Answer 1

分析 由|PA|=|PB|，知P为弦AB的中点，然后利用点差法求AB所在直线的斜率，然后代入直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|PA|=|PB|，∴点P（2，-1）是A，B的中点，
且$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{5}=1$，
两式作差可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{5（{x}_{1}+{x}_{2}）}{6（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{5}{6}×\frac{4}{-2}=\frac{5}{3}$，
∴直线AB的方程为y+1=$\frac{5}{3}（x-2）$，即5x-3y-13=0．
故答案为：5x-3y-13=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查利用“点差法”求解与中点弦有关的问题，是中档题．