题目内容

过点作曲线的切线，切点为，过作轴的垂线交 轴于点，又过作曲线C的，切点为，过作轴的垂线交轴于点，…，依次下去得到一系列点，…，设点的横坐标为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求和；

（3）求证：．

解：（1）∵，∴．

若切点是，

则切线方程为．      …………………1分

当时，切线过点，

即：，

依题意．所以．       …………………2分

当时，切线过点，

即：，

依题意，所以．  ………………3分

所以数列是首项为，

公比为的等比数列．所以．  …………4分

（2）记，

因为，

所以．    …………………5分

两式相减，

得：

　　    

．   …………………7分

∴

．          …………………9分

（3）证法1：

 ．      

…………………14分

证法2：当时，

．…………………10分

假设时，结论成立，

即，

则．

即时．

．                        …………………13分

综上，　

对都成立．              …………………14分

练习册系列答案
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函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值．
（I）求函数f（x）的解析式及单调区间；
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2
，求直线l的方程；
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PA
•
PB
，并求
PA
•
PB
的取值范围．

设曲线上有点，与曲线切于点的切线为，若直线过且与垂直，则称为曲线在点处的法线，设交轴于点，又作轴于，求的长。

如图所示，已知线段|AB|=4，动圆O’与线段AB切于点C，且|AC|―|BC|=，过点A、B分别作⊙O’的切线，两切线相交于点P；且P、O’在AB的同侧．

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(2)过点B作直线交曲线E于M、N，求△AMN面积的最小值．
函数f（x）=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于点（-3，0），且函数存在极值．
（I）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（II）过函数y=f（x）图象上一点P1（x1，y1）（P1不是y=f（x）图象的对称中心）作曲线的切线，切于不同于P1（x1，y1）的另一点P2（x2，y2），再过P2（x2，y2）作曲线的切线切于不同于P2（x2，y2）的另一点P3（x3，y3），…，过Pn（xn，yn）作曲线的切线切于不同于Pn（xn，yn）的另一点Pn+1（xn+1，yn+1），求xn与xn+1的关系．

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