题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为等腰梯形，
，其中点
在以
为直径的圆上，
，
，
，平面
平面.
（1）证明：
平面.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，
，根据直径所对圆周角是直角，得到
，计算出
的长，通过勾股定理证得
，再根据面面垂直的性质定理得到
平面
.（2）
为坐标原点，分别以
，
，
的方向为
，
，
轴的正方向建立空间直角坐标系通过计算平面
和平面
的法向量，计算二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
（1）证明：连接，，因为点在以
为直径的圆上，所以.
因为
，所以
，
.
所以
.
因为为等腰梯形，
，
所以
.
又因为
，
，
所以
，从而得.
又因为平面
平面，平面
平面
，
所以平面.
（2）解：由（1）易知
，
，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
.
因为
，所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
由
，得
，令
，得
，
由
，得
，令
，得
，
所以
，所以
，
故二面角的正弦值为.
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购买了轿车（辆） | 购买了 | |
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表
图
（I）根据表，是否有
的把握认为年龄与购买的汽车车型有关？
（II）图给出的是
名车主上一年汽车的行驶里程，求这名车主上一年汽车的平均行驶里程（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）用表中的频率估计概率，随机调查
名
岁以下车主，设其中购买了轿车的人数为
，求
的分布列与数学期望.
附：
，
.
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