Question

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，

求：（1）直线PA与底面ABCD所成的角；
（2）四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AO，PO⊥BO，
所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBO=60°，
且∠PAO是PA与平面ABCD所成的角，
因为底面ABCD是菱形，O是对角线的交点，∠DAB=60°，
所以△AOB是直角三角形，且∠BAO=30°，
在Rt△AOB中，，，
于是在Rt△POB中，得，
所以，在Rt△POA中，，∠PAO=45°，
所以，PA与平面ABCD所成的角为45°。
（2）底面菱形的面积为，
所以，四棱锥P-ABCD的体积。