Question

函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；
（3）若f（1）≥1，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过已知表达式，通过x=y=0，即可求出f（0）的值；
（2）若f（1）=1，通过f（2）=f（1+1），f（3）=f（2+1），f（4）=f（3+1）即可求出它们的值，直接猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明①验证n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立即可；
（3）若f（1）≥1，利用数学归纳法证明．按照证明步骤证明．
解答：解：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0⇒f（0）=0
（2）f（1）=1，

猜想f（n）=n²，下用数学归纳法证明之．
①当n=1时猜想成立．
②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k²，
那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k²+2k+1=（k+1）²．
这就是说n=k+1时猜想也成立．
对于一切n≥1，n∈N₊猜想都成立．
（3）f（1）≥1，则
假设n=k（k∈N^*）时命题成立，即，则，
由上知，则．
点评：本题只要考查数学归纳法证明问题的基本步骤，考查赋值法求出函数值的方法，数列的有关知识，考查计算能力，转化思想．