题目内容
7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若△ABF1的周长为4$\sqrt{2}$．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）P是y轴上一点，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB，若点P的坐标为（0，-2），求平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．
分析 （1）由△ABF1的周长为4$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程为y=kx-1，代入椭圆方程，得（2+k2）x2-2kx-1=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法，结合已知条件能求出平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．
解答 解：（1）∵△ABF1的周长为4$\sqrt{2}$，∴4a=4$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴c=1，∴b=$\sqrt{2-1}$=1，
∴椭圆C的标准方程为${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点E（x0，y0），
当直线斜率不存在时不成立，
∴设直线l的方程为y=kx-1，①
将①代入椭圆方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理得：（2+k2）x2-2kx-1=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-1}{2+{k}^{2}}$，
${x}_{0}=\frac{k}{2+{k}^{2}}$，${y}_{0}=k•{x}_{0}-1=\frac{-2}{2+{k}^{2}}$，
|PE|=$\sqrt{（{x}_{0}-0）^{2}+（{y}_{0}+2）^{2}}$
=$\sqrt{（\frac{k}{2+{k}^{2}}）^{2}+（2-\frac{2}{2+{k}^{2}}）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{k}^{2}）^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=2+k2，则t∈[2，+∞），∴$\frac{1}{t}$∈（0，$\frac{1}{2}$]，
∴|PE|=$\sqrt{\frac{t-2+4（t-1）^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4{t}^{2}-7t+2}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{{t}^{2}}-\frac{7}{t}+4}$=$\sqrt{2（\frac{1}{t}-\frac{7}{4}）^{2}-\frac{17}{8}}$∈[1，2）．
∴平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围是[1，2）．
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形对角线的长度的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、换元法、椭圆性质的合理运用．
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通讯卫星C在赤道上空3R（R为地球半径）的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空．如果此点与某地A（北纬60°）在同一条子午在线，则在A观察此卫星的仰角的正切值为$\frac{3}{6}$．
如图所示，平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N是BC的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{n}$．