Question

曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值为

 

．

Answer 1

分析：将问题转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离；利用导函数的几何意义求出曲线与已知直线平行的切线；利用两条平行线的距离公式求出距离的最小值．

解答：解：曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离
y′=8x³
令8x³=-1得x=-

1

2

，
将x=-

1

2

代入y=2x⁴求出切点（-

1

2

，

1

8

），
曲线的切线方程为y-

1

8

=-(x+

1

2

)即x+y+

3

8

=0，
又y=-x-1即为x+y+1=0，
所以最小距离为

1- 3 8

2

=

5 2

16

，
故答案为

5 2

16

．

点评：本题考查等价转化的数学方法、导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率、两平行线的距离的公式