题目内容

曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值为 ________．

$\text{[math]}$
分析：将问题转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离；利用导函数的几何意义求出曲线与已知直线平行的切线；利用两条平行线的距离公式求出距离的最小值．
解答：曲线y=2x⁴上一点到直线y=-x-1的距离的最小值转化为曲线与直线平行的切线和直线的距离
y′=8x³
令8x³=-1得 $\text{[math]}$ ，
将x= $\text{[math]}$ 代入y=2x⁴求出切点（ $\text{[math]}$ ），
曲线的切线方程为 $\text{[math]}$ 即x+y+ $\text{[math]}$ =0，
又y=-x-1即为x+y+1=0，
所以最小距离为 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查等价转化的数学方法、导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率、两平行线的距离的公式