题目内容

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，x∈[-
π
5
，
π
2
]
（1）求证：(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)；
（2）|
a
+
b
|=
1
3
，求sin2x的值．
分析：（1）利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积的平方差公式及向量垂直的充要条件得证．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，列出方程求出角2x的余弦，利用同角三角函数的平方关系求出正弦．
解答：解：（1）∵
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)
∴
a
2=cos2
3x
2
+sin2
3x
2
=1，
b
2=cos2
x
2
+sin2
x
2
=1（3分）
∴(
a
-
b
)•(
a
+
b
)=
a
2-
b
2=0（4分）
∴(
a
-
b
)⊥(
a
+
b
)（5分）

（2）∵|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
a
2+2
a
•
b
+
b
2

=
1+2(cos
3x
2
•cos
x
2
+sin
3x
2
•sin
x
2
)+1

=
2+2cos2x
（8分）

又∵|
a
+
b
|=
1
3

∴cos2x=-
17
18
（10分）
∵x∈[-
π
5
，
π
2
]
∴2x∈[-
2π
5
，π]
∴sin2x=
35
18
（12分）
点评：本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0，考查向量模的性质：模的平方等于向量的平方、考查三角函数的平方关系．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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