Question

【题目】已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设为曲线上的一个不在轴上的动点， 为坐标原点，过点作的平行线交曲线于、两个不同的点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积的最大值为.

【解析】试题分析：（1）由所给两圆的位置关系及图像，知动圆与圆内切，再由两圆内切时半径与圆心距的关系可得，则，满足椭圆的定义，可知点轨迹方程为椭圆，再由椭圆定义可求得各椭圆方程各系数值；（2）可设直线的方程，及， ， 将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系与弦长公式可求得长度，再求出点到直线．利用函数性质可求得面积最大值．

试题解析：（1）设圆的半径为，圆心的坐标为，

由于动圆与圆只能内切

所以

则，

所以圆心的轨迹是以点， 为焦点的椭圆.

且，则.

所以曲线的方程为.

（2）设， ， ，直线的方程为，

由可得，

则， .

所以

.

因为，所以的面积等于的面积.

点到直线 的距离.

所以的面积

.

令，则， .

设，则，

因为，所以.

所以在上单调递增.

所以当时， 取得最小值，其值为9.

所以的面积的最大值为.

说明： 的面积 .