Question

数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=1，an+2=

an+1+an

2

(n∈N*)
（1）求公比q；
（2）令b_n=na_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的性质可知a_n+2=a_nq²，a_n+1=a_nq，分别代入an+2=

an+1+an

2

中，得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值；
（2）根据首项为1和求出的两个q的值分别写出等比数列的通项公式，代入b_n=na_n中即可得到{b_n}的通项公式，然后分别根据等差数列和等比数列的前n项和的公式求出{b_n}的前n项和S_n的值即可．

解答：解：（1）∵{a_n}为公比为q的等比数列，a_n+2=

an+1+an

2

（n∈N^*），
∴a_n•q²=

anq+an

2

，即2q²-q-1=0，
解得q=-

1

2

或q=1；
（2）当a_n=1时，b_n=n，S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
当a_n=(-

1

2

)n-1时，b_n=n•(-

1

2

)n-1，
S_n=1+2•（-

1

2

）+3•(-

1

2

)2+…+（n-1）•(-

1

2

)n-2+n•(-

1

2

)n-1①，
-

1

2

S_n=（-

1

2

）+2•(-

1

2

)2+…+（n-1）•(-

1

2

)n-1+n(-

1

2

)n②，
①-②得

3

2

S_n=1+(-

1

2

) +(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n
=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n•(-

1

2

)n=

2

3

-

2

3

(-

1

2

)n-

n

•

(-

1

2

)nS_n=

4

9

-

4

9

(-

1

2

)n-

2n 3

•

(-

1

2

)n．

点评：此题考查了等比数列的性质，考查了错位相减法求数列的和，是一道综合题．