Question

数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an(n∈N*)，则m=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2013+1

的整数部分是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：把给出的递推式变形得到

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

然后利用累加法进行化简，再由递推式求出第2014项的范围后可得m的整数部分．

解答：解：由an+1=

a

2 n

+an(n∈N*)，得a_n+1=a_n（a_n+1），
∴

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，则

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

．
所以m=

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2013+1

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

a2013

-

1

a2014

)
=

1

a1

-

1

a2014

=2-

1

a2014

．
an+1=an2+an，所以an+1-an=an2≥0，
而a2=a12+a1=

1

4

+

1

2

=

3

4

，a3=a22+a2=

9

16

+

3

4

=

21

16

＞1．
所以a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞1，则0＜

1

a2014

＜1．
由m=2-

1

a2014

，所以1＜m＜2，所以m的整数部分为1．
故选B．

点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了累加法求得数列的和，解答此题的关键是由递推式得到列项公式，是在中档题．