Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的正整数n，都有S_n=.证明：{a_n}是等差数列.

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：证法一：令d=a2－a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n－1）d（n∈N*） ①当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1， 当n=2时，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立. ②假设当n=k（k∈N，k≥2）时命题成立，即ak=a1+（k－1）d 由题设，有， 又Sk+1=Sk+ak+1，所以+ak+1 将ak=a1+（k－1）d代入上式， 得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d. 即n=k+1时等式成立. 由①和②，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列. 证法二：当n≥2时，由题设， 所以 同理有 从而 整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立. 从而{an}是等差数列.