题目内容
（2013•黄浦区二模）某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间x（小时）之间满足y=
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| 5 |
（1）试求药量峰值（y的最大值）与达峰时间（y取最大值时对应的x值）；
（2）如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间？（精确到0.01小时）
分析：（1）由曲线过点(
，
)，代入曲线方程，求出a值，确定函数关系式；再分别求出分段函数各段上的最大值进行比较，从而得出药量峰值（y的最大值）与达峰时间；
（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．
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（2）把y=1分别代入两个函数关系式求时间，再求时间差，即可得出服用该药一次后能维持多长的有效时间．
解答：解：（1）由曲线过点(
，
)，可得
=
，故a=8…（2分）
当0＜x＜1时，y=
＜
=4，…（3分）
当x≥1时，设2x-1=t，可知t≥1，y=
=
≤
=4（当且仅当t=1时，y=4）…（5分）
综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1
所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时． …（6分）
（2）当0＜x＜1时，由
=1，可得x2-8x+1=0，
解得x=4±
，又4+
＞1，故x=4-
． …（8分）
当x≥1时，设2x-1=t，则t≥1，
由
=1，可得
=1，解得t=4±
，
又t≥1，故t=4+
，所以2x-1=4+
，
可得x=log2(4+
)+1． …（12分）
由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是[4-
，log2(4+
)+1]，
∵log2(4+
)+1-(4-
)≈3.85，
所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间． …（14分）
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| 2 |
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| 5 |
a×
| ||
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| 16 |
| 5 |
当0＜x＜1时，y=
| 8x |
| x2+1 |
| 8x |
| 2x |
当x≥1时，设2x-1=t，可知t≥1，y=
| 8×2x-1 |
| 4x-1+1 |
| 8t |
| t2+1 |
| 8t |
| 2t |
综上可知ymax=4，且当y取最大值时，对应的x值为1
所以药量峰值为4mg，达峰时间为1小时． …（6分）
（2）当0＜x＜1时，由
| 8x |
| x2+1 |
解得x=4±
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当x≥1时，设2x-1=t，则t≥1，
由
| 8×2x-1 |
| 4x-1+1 |
| 8t |
| t2+1 |
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又t≥1，故t=4+
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可得x=log2(4+
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由图象知当y≥1时，对应的x的取值范围是[4-
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∵log2(4+
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所以成人按规定剂量服用该药一次后能维持大约3.85小时的有效时间． …（14分）
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．
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