Question

【题目】已知函数 在处取到极值2.

（1）求的解析式；

（2）若a<e，函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)先对函数求导，再由函数在处取到极值2，可列出方程组，解方程组即可得出解析式;

(2)由(1)可得函数的定义域为R，且函数为奇函数，进而求出的值域，从而可求出的最小值，因此可将函数，若对任意的，总存在（为自然对数的底数），使得的问题转化为在上成立的问题，用导数的方法研究函数的单调性和最值即可求出结果.

(1)因为，所以，

由在处取到极值2，可得

，解得，经检验，此时在取得极值，

所以

(2)由(1)知的定义域为R，且，所以函数为奇函数，，

时，，，当且仅当时，取等号；

故函数的值域为，从而，依题意有，

函数的定义域为，，

①当时，，函数在区间上单调的证，其最小值为,

符合题意；

②当时，函数函数在区间上有，单调递减；在区间上有，单调递增；所以函数最小值为，由，得,所以符合题意；

③当时，显然函数在上单调递减，其最小值为，不符合题意；

综上所述，实数的取值范围.为.