Question

若P是棱长1的正四面体内的任意一点，则它到这个四面体各面的距离之和为 （　　）

• A．

  3

  2

• B．

  6

  3

• C．

  6

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离．

解答：解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，
设它到四个面的距离分别为a，b，c，d，
由于棱长为1的正四面体，故四个面的面积都是

1

2

×1×1×sin60°=

3

4

．
又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的

2

3

，又高为1×sin60°=

3

2

，
故底面中心到底面顶点的距离都是

3

3

．
由此知顶点到底面的距离是

12-( 3 3 ) 2

=

6

3

1 2-( 1 3 ) 2

=

2 2

3

．
此正四面体的体积是

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

12

．
所以：

2

12

=

1

3

×

3

4

（a+b+c+d），解得a+b+c+d=

6

3

．
故选：B．

点评：本题是基础题，考查正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．