Question

如图5所示,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD.

图5

(1)求线段PD的长;

(2)若PC=R,求三棱锥P—ABC的体积.

Answer 1

解:(1)由BD是圆的直径，知∠BAD=90°，BD=2R.

∵∠ABD=60°，

∴AD=BDsin60°=R，AB=R.

由△ADP∽△BAD，知△ADP是直角三角形，

且∠PAD=60°.

故PD=ADsin60°=3R.

(2)由BD是圆的直径，∠BDC=45°，知△BCD为直角三角形,

故DC=BDcos45°=R,

∵在△PDC中有PD²+CD²=9R²+2R²=11R²=PC²,

∴PD⊥CD.

由（1）知PD⊥AD，所以PD是三棱锥P—ABC在底面上的高,

∴S_△ABC=AB·BCsin(60°+45°)=R·R(+×)=.

故三棱锥P—ABC的体积为V=S_△ABC·PD=·R²·3R=R³.