Question

如图，两矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，DE与平面ABCD及平面ABEF所成角分别为30°、45°，M、N分别为DE与DB的中点，且MN＝1．

(1)求证：MN丄平面ABCD

(2)求线段AB的长；

(3)求二面角A－DE－B的平面角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD平面ABEF＝AB 　　EB⊥AB　∴EB⊥平面ABCD　又MN∥EB 　　∴MN⊥面ABCD　　(3分) 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠EDB为DE与平面ABCD所成的角 　　∴∠EDB＝30o 　　又在Rt△EBD中，EB＝2MN＝2，∠EBD＝90o 　　∴DE＝ 　　连结AE，可知∠DEA为DE与平面ABEF所成的角 　　∴∠DEA＝45o　　(5分) 　　在Rt△DAE中，∠DAE＝90o 　　∴AE＝DE　cos∠DEA＝2 　　在Rt△ABE中，　　(7分) 　　(Ⅲ)方法一：过B作BO⊥AE于O点，过O作OH⊥DE于H，连BH 　　∵AD⊥平面ABEF　BO面ABEF 　　∴BO⊥平面ADE　∴OH为BH在平面ADE内的射影 　　∴BH⊥DE　即∠BHO为所求二面角的平面角　　(9分) 　　在Rt△ABE中，BO＝ 　　在Rt△DBE中，由BH·DE＝DB·OE得BH＝ 　　∴sin∠BHO＝　　(12分) 　　方法二：由题设及(Ⅰ)可得AF⊥AB，AF⊥AD，AB⊥AD 　　如图分别以射线AF、AB、AD为x、y、z轴建立空间直角坐标系A－xyz 由(Ⅱ)知，AF＝BE＝2，AB＝EF＝CD＝2，AD＝BC＝2 　　∴A(0，0，0)　B(0，2，0)　C(0，2，2)　D(0，0，2)　E(2，2，0)　F(2，0，0)　　(9分) 　　在正方形ABEF中，BF⊥AE，又AD⊥平面ABEF 　　∴BF⊥平面ADE　∴是平面ADE的法间量， 　　设平面BDE的法向量为 　　由，及⊥，⊥得 　　　∴　∴ 　　取z＝1得平面BDE的一个法向量为 　　设二面角A－DE－B的大小为α 　　则 　　∴　　(12分)