题目内容

已知圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，过原点O作圆C的切线OA、OB，切点依次记为A、B，过原点O引直线l交圆C与D、E两点，交AB与F点．
（1）求直线AB的直线方程．
（2）求OD+OE的最大值．

解：（1）由题意，O，A，C，B四点共圆，
因为圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，圆心坐标为（2，2），半径为 $\text{[math]}$
所以O，A，C，B四点所在圆的圆心坐标为（1，1），圆的半径为 $\text{[math]}$
所以O，A，C，B四点所在圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
因为圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，
∴两圆相减，可得公共弦，即直线AB的方程为x+y-3=0；
（2）设直线l：y=kx，代入圆C：（x-2）²+（y-2）²=2，消去y可得（1+k²）x²-（4+4k）x+6=0
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则OD+OE= $\text{[math]}$ （x₁+x₂）=4 $\text{[math]}$ ≤4 $\text{[math]}$
∴OD+OE的最大值为4 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求得O，A，C，B四点所在圆的方程，再两圆相减，可得公共弦，即直线AB的方程；
（2）设l的方程，代入圆的方程，表示出OD+OE，即可求得结论．
点评：本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．

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