Question

已知函数f（x）=x+

4

x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）求f（x）单调区间、值域．

Answer 1

分析：（1）求出函数定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可判断；
（2）运用导数容易作出正确判断；
（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可求得单调区间，根据单调性即可求得值域；

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
又f（-x）=-（x+

4

x

）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（2，+∞）上单调递增．
证明：f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

，
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增；
（3）f′（x）=1-

4

x2

，
令1-

4

x2

＞0得x＞2或x＜-2；令1-

4

x2

＜0得-2＜x＜0或0＜x＜2，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（2，+∞）；单调递减区间为（-2，0），（0，2）．
f（-2）=-2+

4

-2

=-4，f（2）=2+

4

2

=4，
所以f（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，定义是解决该类问题的基本方法，导数是研究函数单调性的有力工具，运用导数更加直接简便．