Question

如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，则a₅=

35

；若a_n=590，则n=

20

．

Answer 1

分析：利用观察法各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式，再求第5个五角星的中实心点的个数及a_n=590时，n的值即可．

解答：解：第一个有1个实心点，
第二个有1+1×3+1=5个实心点，
第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，
第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，
…
第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=

3n(n-1)

2

+n个实心点
故当n=5时，

3n(n-1)

2

+n=

3×4×5

2

+5=35个实心点，
若a_n=590，即

3n(n-1)

2

+n=590，解得n=20
故答案为：35，20．

点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式，属基础题．