Question

设f(x)=+xlnx，g(x)=x³-x²-3，
(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；
(Ⅱ)如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g(x₁)-g(x₂)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(Ⅲ)如果对任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=2时，，
，
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-x+3。
(Ⅱ)存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g(x₁)-g(x₂)≥M成立
等价于：，
考察，

由上表可知，，
，
所以满足条件的最大整数M=4。
(Ⅲ)当x∈[，2]时，恒成立，
等价于恒成立，
记，
记，
由于，
所以在[，2]上递减，
当时，时，，
即函数在在区间上递增，在区间上递减，
所以h(x)_max=h(1)=l，所以，a≥1。