题目内容

设函数f(x)=-
x22
+xln(ex+1)+3的定义域为区间[-a，a]，则函数f（x）的最大值与最小值之和为
6
6
．
分析：由函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3，知g（x）=f（x）-3=-
x2
2
+xln(ex+1)，由g(-x)=-
x2
2
-xln(e-x+1)=-
x2
2
-x[ln（ex+1）-x]=
x2
2
-xln(ex+1)=-g（x），知g（x）=f（x）-3=-
x2
2
+xln(ex+1)是奇函数，故函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3关于点（0，3）对称，由此能求出函数f（x）的最大值与最小值之和．
解答：解：∵函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3，
∴g（x）=f（x）-3=-
x2
2
+xln(ex+1)，
∵g(-x)=-
x2
2
-xln(e-x+1)
=-
x2
2
-x[ln（ex+1）-x]
=
x2
2
-xln(ex+1)
=-g（x）．
∴g（x）=f（x）-3=-
x2
2
+xln(ex+1)是奇函数，
∴函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3关于点（0，3）对称，
∴函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3在定义域为区间[-a，a]上的最大值与最小值之和为6．
故答案为：6．
点评：本题考查函数f（x）的最大值与最小值之和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，解题的关键步骤是证明出函数f(x)=-
x2
2
+xln(ex+1)+3关于点（0，3）对称．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
①函数f(x)=(
12
)x为R上的l高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
其中正确的命题是
②③
②③
（填序号）
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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