Question

设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）判定函数f（x）在区间（x₁，x₂）上的单调性；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数和极值，单调性之间的关系，确定函数的单调性．
（2）利用二次函数的图象和性质求a的取值范围．

解答：解：（1）由已知f'（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是f（x）的两个极值点．
∴x₁，x₂是f'（x）=0的两个根．
即f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）（a＞0）（2分）
列表如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由上表可知f（x）在区间（x₁，x₂）上单调递减（6分）
（2）∵x1，x2是f′(x)=ax2+bx-a2的两个根，
∴

x1+x2=- b a x1x2=-a

，
∵a＞0，∴x₁x₂＜0，
又x₁＜x₂，∴x₁＜0＜x₂
∵|x₁|+|x₂|=2，
∴-x1+x2=2⇒(x1+x2)2-4x1x2=4（10分）
∴

b2

a2

+4a=4，∴b²=4a²（1-a）≥0
而a＞0，∴0＜a≤1（12分）

点评：本题主要考查导数和函数单调性，极值之间的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的性质．