Question

【题目】在三棱锥中， 和是边长为的等边三角形， ， 是中点， 是中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得的余弦值为？若存在，指出点在上的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）在棱上靠近点的三等分点处．

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接， ， 中， 为中点，易得，同理可得： ，进而利用面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；

（Ⅱ）以为原点，以方向分别为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解线面角的正弦值；

（Ⅲ）设得再求得平面的一个法向量为和面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，求解的值，从而确定点的位置．

试题解析：（Ⅰ）证明：连接， ， 中， 为中点，易得且．

同理可得： ， ，又∵，∴，

∴，又∵，∴平面，又∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）以为原点，以方向分别为， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，

得， ， ， ， ,

设平面的一个法向量为，则有， ，

，设直线与面所成的角为，

则．

（Ⅲ）设在棱上存在点，设

设平面的一个法向量为

则有，且，取， ， ，

∴，

∵平面，

∴设面的一个法向量为．

设面与面所成二面角为，

，

解得： 或（舍），∴．　

所以存在点且当在棱上靠近点的三等分点处，满足题意．