Question

【题目】已知函数,为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明: 为函数的导函数）.

Answer 1

【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用导数与函数的单调性的关系与分类整合思想求解；（2）依据题设构造函数运用导数知识推证.

试题解析：

（1）由题可知，. ①当时，

令，则，令，则.

②当时，.③当时，令，则，令，则,综上，①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时，在上单调递增；③当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）

,,当时，

在上单调递增，与轴不可能有两个交点，故.

当时，令，则；令，则.

故在上单调递增，在上单调递减.不妨设，

且.要证，需证，

即证，

又，所以只需证.

即证：当时，.

设，

则在上单调递减，

又，故.