Question

设数列{a_n}满足a_n+1＝－na_n＋1，n＝1，2，3，……

(1)当a₁＝2时，求a₂、a₃、a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；

(2)当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有①a_n≥n＋2；②＋＋…＋≤．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　在(1)中，只要看清an与an+1的函数关系式即可顺利求解．解(2)时，①考查用数学归纳法证明不等式，②综合运用探索和递推的思想方法，有一定的灵活性和综合性． 　　解答　　(1)由a1＝2，得a2＝a12－a1＋1＝3；得a3＝－2a2＋1＝4；由a3＝4，得＝－3a3＋1＝5．由此猜想：an＝n＋1(n∈N*) 　　(2)①用数学归纳法证明： 　　当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 　　假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2 　　那么当n＝k＋1时，ak+1＝－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 　　也就是说，当n＝k＋1时，ak+1≥(k＋1)＋2． 　　根据①和②，对于所有n≥1，有an≥n＋2． 　　②由an+1＝an(an－n)＋1及(i)，对k≥2，有 　　ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1 　　≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1， 　　…… 　　∴ak≥2k+1a1＋2k－2＋…＋2＋1 　　＝2k+2(a1＋1)－1． 　　于是≤·，k≥2， 　　≤＋ 　　＝ 　　≤≤＝．