题目内容

设函数 $数学公式$ 内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证： $数学公式$ ．

（1）解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数 $\text{[math]}$
∵函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有极值
∴f′（x）=0在 $\text{[math]}$ 内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设 $\text{[math]}$ ，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得 $\text{[math]}$
由x₂∈（1，+∞），可得 $\text{[math]}$
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
记 $\text{[math]}$
则h′（β）= $\text{[math]}$ ＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导函数，利用函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有极值，可得f′（x）=0在 $\text{[math]}$ 内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根据αβ=1，可设 $\text{[math]}$ ，则β＞e，从而可求实数a的取值范围；
（2）求导函数确定函数f（x）的单调性，进而由x₁∈（0，1），可得 $\text{[math]}$ ；由x₂∈（1，+∞），可得 $\text{[math]}$ ，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ ，可得h（β）在（0，+∞）上单调递增，从而问题得证．
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．