Question

设数列，＝2，n∈N^*.

（Ⅰ）求并由此猜想出的一个通项公式；

（Ⅱ）证明由（Ⅰ）猜想出的结论．

Answer 1

．解：（Ⅰ）由a₁＝2，得a₂＝a－a₁＋1＝3，由a₂＝3，得a₃＝a－2a₂＋1＝4，………… 3分

由a₃＝4，得a₄＝a－3a₃＋1＝5.由此猜想a_n的一个通项公式为：a_n＝n＋1(n∈N^*)．… 6分

（Ⅱ）证明：①当n＝1时，a₁=2，猜想成立．………………………………………… 7分

②假设当n＝k（k∈N^*且k≥1）时猜想成立，即a_k=k＋1，

那么当n＝k＋1时，a_k＋1＝a_k(a_k－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分

也就是说，当n＝k＋1时，a_k＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立

根据①和②，对于所有n∈N^*，都有a_n=n＋1. ………………………………… 12分