Question

在四面体S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

2

，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是-

3

3

，则该四面体外接球的表面积是（　　）

• A、8

  6

  π
• B、

  6

  π
• C、6π
• D、

  8π

  3

Answer 1

分析：取AC中点D，连接SD，BD，由题意可得∠SDB为二面角S-AC-B，取等边△SAC的中心E，找出O点为四面体的外接球球心．

解答：解：取AC中点D，连接SD，BD，
因为AB=BC=

2

，所以BD⊥AC，
因为SA=SC=2，所以SD⊥AC，AC⊥平面SDB．
所以∠SDB为二面角S-AC-B．
在△ABC中AB⊥BC，AB=BC=

2

，
所以AC=2．
取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，
过D作DO⊥平面ABC，O为外接球球心，
所以ED=

3

3

，二面角S-AC-B的余弦值是-

3

3

，所以cos∠EDO=

6

3

，OD=

2

2

，
所以BO=

BD2+OD2

=

6

2

=OA=OS=OC
所以O点为四面体的外接球球心，

其半径为

6

2

，表面积为6π．
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，利用已知条件求出线段长度，进而确定圆心的位置即可求出圆的半径，