Question

【题目】已知函数有两个极值点.

（1）求实数的范围；

（2）设函数的两个极值点分别为，，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出导函数，令可得，令，只需直线与曲线有且只有两个交点，利用导数求出的最值，进而求出实数的范围.

（2）由（1）根据题意可得，（），即，令，代入上式可得，令，利用导数求出函数的最值，进而可得，由，在单调递减，即可求解.

（1）解：.由得，.

令，则直线与曲线有且只有两个交点.

因为，当时， ，单调递减；

当时， ，单调递增.且当时，；

当时，.

所以.

（2）依题意得：，（）.

两式相除可得：. 令，则.

所以，则.

令，.

令，.

所以在单调递减，所以，

即，因此在单调递减，所以，故.

又因为，在单调递减，所以.