Question

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为(

2

，1)，
（1）求区域D的面积
（2）设z=

2

x+y，求z的取值范围；
（3）若M（x，y）为D上的动点，试求（x-1）²+y²的最小值．

Answer 1

（1）由不等式组

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

表示的平面区域，得到四边形ABCO及其内部，
其中A（

2

，1），B（

2

，2），C（0，2）
∴平面区域D是如图所示的直角梯形OABC，其面积为
S=

1

2

（AB+CO）×BC=

3 2

2

（3分）
（2）将z=

2

x+y对应的直线l进行平移，可得


当l经过点B时，z达到最大值；当l经过点0时，z达到最小值
∴z_max=

2

×

2

+2=4，z_min=0
由此可得，z的取值范围是[0，4]-----（7分）
（3）设N（1，0），结合M（x，y）为D上的动点，可得
（x-1）²+y²=|MN|²
运动点M，可得当点M与N在直线OA上的射影重合，即MN⊥OA时
点M、N的距离最短，此时|MN|=

1

1+2

=

3

3

∴|MN|²的最小值为

1

3

，即（x-1）²+y²的最小值是

1

3

．（12分）