Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线的斜率为定值；

（3）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）设椭圆的方程，根据椭圆的性质即可求得和的值，求得椭圆方程；

（2）利用点差法即可求证直线的斜率为定值；

（3）设直线的方程，由，将直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得面积的最大值．

（1）由题意可设椭圆的方程为，，则，

所以的方程为；

（2）设，，，，则，，直线的斜率，

由，两式相减，，

由直线，所以，

直线的斜率为定值；

（3）因为，关于原点对称，所以，

由（1）可知的斜率，设方程为且，

到的距离

由，整理得：，

所以，

所以，

，

，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.