Question

设椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，长轴的长等于2

3

，离心率为

3

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M是椭圆上异于A₁，A₂的任意一点，设直线MA₁，MA₂的斜率分别为kMA1，kMA2，证明kMA1•kMA2为定值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率、长轴、及a²=b²+c²的关系、椭圆的标准方程即可得出；
（2）利用椭圆的标准方程、直线的斜率计算公式即可证明．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得 2a=2

3

，

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，c=1，
又a²=b²+c²，∴b²=2．
∴椭圆C的标准方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）证明：由椭圆方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，设M点坐标（x₀，y₀），
则

x02

3

+

y02

2

=1⇒y02=

2

3

(3-x02)，
∵kMA1=

y0

x0+ 3

，kMA2=

y0

x0- 3

，
∴kMA1•kMA2=

y02

x02-3

=

2 3 (3-x02)

x02-3

=-

2

3

．
∴kMA1•kMA2是定值-

2

3

．

点评：视力掌握椭圆的离心率、长轴、及a²=b²+c²的关系、椭圆的标准方程、直线的斜率计算公式是解题的关键．