Question

已知f(x)=a-

2

2x+1

是R上的奇函数
（1）求a的值；    
（2）证明：函数f（x）在R上是增函数．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=a-

2

2x+1

是奇函数，可得方程f（0）=0代入函数解析式，由此方程求出a的值；
（2）由（1）函数f（x）=1-

2

2x+1

，即f（x）=

2x-1

2x+1

，再利用函数单调性的定义证明其在R上是增函数即可．

解答：解：（1）函数y=f（x）是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，令x=0，可得f（0）=0，
∴a-

2

20+1

=0，解得a=1．
（2）由（1）得f（x）=

2x-1

2x+1

，任取x₁＜x₂则
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

当x₁，x₂∈R时，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，2^x₁-2^x₂＜0，所以

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
有f（x₁）-f（x₂）＜0
有f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质以及函数单调性的证明方法定义法，解题的关键是理解奇函数的定义及单调性的证明方法，本题的重点是单调性的证明，其中判断符号是难点