Question

如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）证明：PB∥平面AEC；
（3）求二面角E-AC-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得AC⊥PB；
（2）连结BD，与AC相交于O，连结EO，证明PB∥EO，即可证明PB∥平面AEC；
（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角，连结EF，即可求二面角E-AC-B的大小．
解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA
又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）
又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）
（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）
又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）
又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）
（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点
∵AB⊥AC，∴OG⊥AC
又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，
∴AC⊥EO（10分）
∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角
连结EF，在△EFO中，
又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°
∴∠EOG=135°，即二面角E-AC-B的大小为135°．（12分）
点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．