Question

已知sin(α-

π

4

)=

7 2

10

，cos2α=

7

25

，求sinα及tan(α+

π

3

)．

Answer 1

分析：把题目中所给的两个条件展开，一个使用两角差的正弦公式，一个使用二倍角公式，得到关于角的正弦和余弦的二元一次方程，解方程，求出角的正弦和余弦，得到结果．

解答：解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

7 2

10

=sin(α-

π

4

)=

2

2

(sinα-cosα)，
即sinα-cosα=

7

5

①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

7

25

=cos2α=cos2α-sin2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-

7

5

(cosα+sinα)
故cosα+sinα=-

1

5

②
由①和②式得sinα=

3

5

，cosα=-

4

5

因此，tanα=-

3

4

，由两角和的正切公式
tan(α+

π

3

)=

tanα+ 3

1- 3 tanα

=

3 - 3 4

1+ 3 3 4

=

4 3 -3

4+3 3

=

48-25 3

11

点评：本题考查两角的三角函数关系和同角的三角函数关系，解题过程中用到方程的思想，已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．