Question

11．已知正三棱台侧棱长为5，上底面边长和下底面边长分别为2和5，求该三棱台的高和斜高．

Answer 1

分析 设O，O₁是等边三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，连结A₁O₁交延长交B₁C₁于E，连结AO并延长，交BC于D，连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD于F，过B₁作B₁G⊥BC，交BC于G，由此利用重心定理和正三棱台的结构特能求出正三棱台ABC-A₁B₁C₁的高．

解答 解：正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上、下底面边长A₁B₁=2，AB=5，AA₁=5，
O，O₁是等边三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，
连结A₁O₁交延长交B₁C₁于E，连结AO并延长，交BC于D，
连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD于F，过B₁作B₁G⊥BC，交BC于G，
则${O}_{1}E=OF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，DF=OD=OF=$\frac{5\sqrt{3}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴正三棱台ABC-A₁B₁C₁的斜高：
DE=B₁G=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}-（\frac{BC-{B}_{1}{C}_{1}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{91}}{2}$．
正三棱台ABC-A₁B₁C₁的高OO₁=EF=$\sqrt{E{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{91}{4}-\frac{3}{4}}$=$\sqrt{22}$．

点评 本题考查三棱台的高和斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三棱台的高和斜高的合理运用．