题目内容

已知曲线Cn：y=nx2，点Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲线Cn上的点（n=1，2，…），
（1）试写出曲线Cn在Pn点处的切线ln为的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
（2）若原点O（0，0）到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点的坐标Pn（xn，yn）
分析：（1）由题意知y′=2nx，由此可知切线ln的方程：y-yn=2nxn（x-xn），令n=0得Qn（0，-nxn2）．
（2）由题意知
d
|pnQn |
=
nxn
1+4n2xn2
=
1
1
nxn
+4nxn
≤
1
4
．由此及彼可推导出p的坐标为(
1
2n
，
1
4n
)．
解答：解：（1）∵y′=2nx，
∴k=2nxn，切线lm的方程：y-yn=2nxn（x-xn），
令x=0得y=-2nxn2+yn=-nxn2，即Qn（0，-nxn2）．
（2）切线方程可写成：2nxnx-y-2nxn2+yn=0．
|PnQn|=
xn2+(2nxn2)2
 =xn
1+4n2xn2
，
d
|pnQn |
=
nxn
1+4n2xn2
=
1
1
nxn
+4nxn
≤
1
4
．
当且仅当
1
nxn
=4nxn，即xn=
1
2n
时，取等号，此时yn=nxn2，点P的坐标为(
1
2n
，
1
4n
)．
点评：本题以数列知识为载体，综合考查了导数知识和点到直线的距离公式，体现了出题者的智慧．
练习册系列答案
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（2010•黄冈模拟）已知曲线C：y=4x，Cn：y=4x+n（n∈N*），从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1），设x1=1，an=xn+1-xn，bn=
yn+1
yn

（1）求数列{xn}的通项公式；
（2）记cn=
4
anbn
，数列{cn}的前n项和为Sn，试比较Sn与
37
32
的大小（n∈N*）；
（3）记dn=
3×5n
2n+2×(bn-1)
，数列{dn}的前n项和为Tn，试证明：（2n-1）•dn≤T2n-1≤
5
3
×[1-(
5
8
)2n+1]．
已知曲线Cn：y=nx2，点Pn（xn，yn）（xn>0，yn>0）是曲线Cn上的点（n=l，2，…）。
（I）试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
（Ⅱ）若原点O（0，0）到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标（xn，yn）； （Ⅲ）设m与k为两个给定的不同的正整数，xn与yn是满足（Ⅱ）中条件的点Pn的坐标，
证明：（s=1，2，…）。

已知曲线Cn：y＝nx2，点Pn(xn，yn)(xn＞0，yn＞0)是曲线Cn上的点(n＝1,2，…).

(1)试写出曲线Cn在点Pn处的切线ln的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；

(2)若原点O(0,0)到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点Pn的坐标(xn，yn).
已知曲线Cn：y=nx2，点Pn（xn，yn）（xn＞0，yn＞0）是曲线Cn上的点（n=1，2，…），
（1）试写出曲线Cn在Pn点处的切线ln为的方程，并求出ln与y轴的交点Qn的坐标；
（2）若原点O（0，0）到ln的距离与线段PnQn的长度之比取得最大值，试求点的坐标Pn（xn，yn）

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