题目内容

已知a_n=A_n¹+A_n²+A_n³+…+A_nⁿ（n∈N^*），当n≥2时，求证：
（1） $数学公式$ ；
（2） $数学公式$ ．

证明：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
所以当n≥2时， $\text{[math]}$ （A_n¹+A_n²+…+A_nⁿ）= $\text{[math]}$
=1+（A_n-1¹+…+A_n-1^n-1）=1+a_n-1．
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （A_n+1¹+A_n+1²+…+A_n+1ⁿ⁺¹）
= $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴原不等式成立．
分析：（1）首先整理一般的排列数，得到两项之间的关系，从要证明的等式的右边入手，利用前面整理出来的结果，代换式子中的量，展开得到结果，即原等式得证．
（2）根据第一问得到的结论，整理要证明的不等式的右边，利用 $\text{[math]}$ 代换，放缩变换，再裂项，合并同类项，得到要求的结果不等式得证．
点评：本题考查组合数的性质，考查不等式的证明，考查放缩法证明不等式，考查裂项求数列的和，是一个综合题，是一个中档题目．

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已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂=b₂，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a1，a3，an1，an2，…，ank，…（3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…）成等比数列，求数列{n_k}的通项公式；
（Ⅲ）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且至少存在三个不同的b值使得等式a_m+t=b_n（t∈N）成立，试求a、b的值．

已知f(x)(x∈R，x≠

)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{a_n}满足：a1=

，an+1=f(an)，bn=

(n∈N*)，证明：{b_n}为等比数列．
（3）在（2）的条件下，若cn=

(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求证：Sn＜

（任选一题）
①在数列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想数列{a_n}的通项公式a_n的表达式；
（2）用适当的方法证明你的猜想．
②是否存在常数a、b、c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=

(an2+bn+c)对一切正整数n都成立？
并证明你的结论．

已知函数f(x)(x∈R，x≠

)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a1=

，a_n+1=f（a_n），bn=

，n∈N^*，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式．

（2009•长宁区一模）设A=

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

，其中a_ik（1≤i≤n，1≤k≤n）表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a₂₃=8，a₃₄=20．
（1）求a₁₁和a_ik；
（2）设数阵第i行的公差为d_i（i=1，2，…，n），f（n）=d₁+d₂+…+d_n，求f（n）；
（3）设A_n=a_1n+a_2（n-1）+a_3（n-2）+…+a_n1，证明：当n是3的倍数时，A_n+n能被21整除．