Question

已知f(x)(x∈R，x≠

1

a

)满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．
（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{a_n}满足：a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

an

1-an

(n∈N*)，证明：{b_n}为等比数列．
（3）在（2）的条件下，若cn=

1

bn+(-1)n

(n∈N*)，Sn=c1+c2+…+cn，求证：Sn＜

3

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

2bx

ax-1

，知

f1=1 2bx ax-1 =2x仅有一根

，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由b_n+1=2b_n，能够证明{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由b_n=2ⁿ，知C_n=

1

2n+(-1)n

，所以C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

．由此能够证明S_n＜

3

2

．

解答：解：（1）∵f（x）=

2bx

ax-1

，
∴

f1=1 2bx ax-1 =2x仅有一根

，
∴

2b=a-1 b+1=0

⇒

a=-1 b=-1

⇒f(x)=

2x

x+1

（2）证明：∵a1=

2

3

，an+1=f(an)，bn=

an

1-an

(n∈N*)，
∴b1=

2 3

1- 2 3

=2，
b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=

1

2n+(-1)n

∴C_2k+C_2k+1=

1

22k+1

+

1

22k+1-1

=

22k+22k+1

22k•22k+1+22k-1

＜

22k+22k+1

22k•22k+1

=

1

22k

+

1

22k+1

∴n为奇数时，S_n=C₁+（C₂+C₃）+…+（C_n-1+C_n）＜1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

3

2

-

1

2n

＜

3

2

n为偶数时，S_n＜S_n+1＜

3

2

综合以上，S_n＜

3

2

点评：本题考查函数与数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．