Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|对?x∈R恒成立，数列{a_n}满足：a1=

1

2

，2an=f(an-1)+15 (n≥2，n∈N*)，数列{b_n}满足：bn=

1

an+2

 (n∈N*)．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n和为S_n，前n的积为T_n，求Sn+2n+1Tn的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3可知，∴-5是与-3是函数f（x）=x²+ax+b的零点，利用韦达定理即可求得a，b的值；
（Ⅱ）由a₁=

1

2

，2a_n=f（a_n-1）+15可求得

1

an+2

=

an-1

2an

，结合已知b_n=

1

an+2

可求得b_n=

an-1

2an

，从而可求得T_n，对b_n=

an-1

2an

进一步转化可得b_n=

1

an

-

1

an+1

，继而可求得其前n项和S_n，问题即可解决．

解答：解：（Ⅰ）方程2x²+4x-30=0有两实根x=-5或x=3…（1分）
由题意知：当x=-5时，|f（-5）|≤|2•（-5）²+4•（-5）-30|=0，
又∵|f（-5）|≥0，
∴f（-5）=0…（3分）
∴-5是f（x）的一个零点，同理，3也是f（x）的一个零点，…（4分）
∴f（x）=x²+ax+b=（x-3）（x+5）=x²+2x-15，即a=2，b=-15，
显然，|x²+2x-15|≤2|x²+2x-15|对x∈R恒成立．
∴a=2，b=-15…（6分）
（Ⅱ）∵a₁=

1

2

，2a_n=f（a_n-1）+15，
∴2a_n=an-12+2a_n-1=a_n-1（a_n-1+2），n=2，3，4，…（7分）
∴

1

an-1+2

=

an-1

2an

，n=2，3，4，…，

1

an+2

=

an

2an+1

，n=1，2，3，…
∴b_n=

1

an+2

=

an

2an+1

，…（9分）
T_n=b₁b₂…b_n=

a1

2a2

•

a2

2a3

•

a3

2a4

…

an

2an

=

1

2n

•

a1

an+1

=

1

2n+1an+1

…（10分）
又∵b_n=

1

an+2

=

an

2an+1

=

an2

2anan+1

=

2(an+1-an)

2anan+1

=

1

an

-

1

an+1

…（12分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

…（13分）
∴2ⁿ⁺¹T_n=

1

an+1

=2-S_n，
∴S_n+2ⁿ⁺¹T_n=2为定值．           …（14分）

点评：本题考查二次函数的零点，数列的求和，考查数列递推公式的应用，突出考查累乘法与裂项法求和的应用，综合性强，难度大，考查创新意识与综合应用能力，属于难题．