Question

10．已知正实数a、b、c满足3^a=4^b=6^c．求证：2bc+ac=2ab．

Answer 1

分析 设3^a=4^b=6^c=k，k＞0，则$\frac{1}{a}$=log_k3，$\frac{1}{b}=lo{g}_{k}4$，$\frac{1}{c}=lo{g}_{k}6$，由此能证明2bc+ac=2ab．

解答 证明：∵正实数a、b、c满足3^a=4^b=6^c，
∴设3^a=4^b=6^c=k，k＞0，
则a=log₃k，b=log₄k，c=log₆k，
∴$\frac{1}{a}$=log_k3，$\frac{1}{b}=lo{g}_{k}4$，$\frac{1}{c}=lo{g}_{k}6$，
∴$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=lo{g}_{k}9+lo{g}_{k}4=lo{g}_{k}36=\frac{2}{c}$，
∴2bc+ac=2ab．

点评 本题考查对数式的证明，是中档题，解题时要注意对数的性质和运算法则及换底公式的合理运用．