设等差数列{an}满足:$\frac{{{{sin}^2}{a 2}-{{cos}^2}{a 2}+{{cos}^2}{a 2}{{cos}^2}{a 7}-{{sin}^2}{a 2}{{sin}^2}{a 7}}}{{sin}}=1$.公差$d∈$若当且仅当n=11时.数列{an}的前n项和Sn取得最大值.则首项a1的取值范围是( )A．$$B．$[\frac{10}{11}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．设等差数列{a_n}满足：$\frac{{{{sin}^2}{a_2}-{{cos}^2}{a_2}+{{cos}^2}{a_2}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_2}{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_4}+{a_5}）}}=1$，公差$d∈（-\frac{1}{2}，0）$若当且仅当n=11时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，则首项a₁的取值范围是（　　）

A．

$（\frac{10}{11}π，π）$

B．

$[\frac{10}{11}π，π）$

C．

$[π，\frac{11}{10}π）$

D．

$（π，\frac{11}{10}π）$

分析利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a₁取值范围．

解答解：由$\frac{{{{sin}^2}{a_2}-{{cos}^2}{a_2}+{{cos}^2}{a_2}{{cos}^2}{a_7}-{{sin}^2}{a_2}{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_4}+{a_5}）}}=1$，
得$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}（1-si{n}^{2}{a}_{7}）-co{s}^{2}{a}_{2}（1-co{s}^{2}{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$=$\frac{si{n}^{2}{a}_{2}co{s}^{2}{a}_{7}-co{s}^{2}{a}_{2}si{n}^{2}{a}_{7}}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$
=$\frac{（sin{a}_{2}cos{a}_{7}-cos{a}_{2}sin{a}_{7}）（sin{a}_{2}cos{a}_{7}+cos{a}_{2}sin{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$
=$\frac{sin（{a}_{2}-{a}_{7}）sin（{a}_{2}+{a}_{7}）}{sin（{a}_{4}+{a}_{5}）}$=sin（a₂-a₇）=sin（-5d）=1
∴sin（5d）=-1．
∵d∈（-$\frac{1}{2}$，0），∴5d∈（-$\frac{5}{2}$，0），
则5d=$-\frac{π}{2}$，d=-$\frac{π}{10}$．
由S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$=na₁-$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{π}{10}$=-$\frac{{n}^{2}}{20}$π+（a₁+$\frac{π}{20}$）n．
对称轴方程为n=$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$），
由题意当且仅当n=11时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值，
∴$\frac{21}{2}$＜$\frac{10}{π}$（a₁+$\frac{π}{20}$）＜$\frac{23}{2}$，解得：π＜a₁＜$\frac{11π}{10}$．
∴首项a₁的取值范围是（π，$\frac{11π}{10}$）．
故选：D．