Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，点D是AB的中点．
求证：（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁．
（2）设BC₁与B₁C的交点为O，连接OD，BCC₁B₁为平行四边形，则O为B₁C中点，又D是AB的中点，
∴OD是三角形ABC₁的中位线，OD∥AC₁，
又∵AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
分析：（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，即可证得AC⊥BC₁；
（2）取BC₁与B₁C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC₁的中位线，OD∥AC₁，而AC₁?平面B₁CD，利用线面平行的判定定理
即可得证．
点评：本题考查直线与平面的平行与垂直，着重考查直线与平面平行的判定定理与直线与平面垂直的判定定理的应用，属于中档题．